数学書房選書6 ガウスの数論世界をゆく
正多角形の作図から相互法則・数論幾何へ
栗原将人 著／桂利行・栗原将人・堤誉志雄・深谷賢治 編
A5判・並製・224頁・定価2400円+税
正多角形の作図(「ガウス日記」第１項目)から 4 次曲線の数論
(「ガウス日記」最終項目)までを貫くガウスの数学の真髄を
非専門家向けに解説した, 整数論へのまったく新しい入門.
はじめに
この本はカール・フリードリッヒ・ガウス（1777-1855）の数学を題材にして，
なるべく多くの方々に，“お話”ではない本物の数学のおもしろさを知ってもらい
たいと願って書いた本である．そこで，本を読むための前提の知識としては，高
校の数学程度（2次方程式，三角関数など）とし，大学の数学は仮定しなかった1）．
一般の大学生や進んだ高校生，さらには理系出身の一般の方々を，読者として念
頭に置いている．
ガウスは，代数学，整数論，幾何学，解析学，応用数学と数学のすべての分野で
（さらには電磁気学や天文学でも）新しい扉を開き，大きな足跡を残したドイツの
大数学者である．数学者の王とも呼ばれた．世界を驚かせたガウスの最初の大発
見は，
「正17角形が定規とコンパスで作図可能であること」
であり，これは1796年3月30日，ガウスが若干18歳のときに行われた（3月
29日夜からの思索が30日の朝に結実したものと思われる）．伝説によれば，この
発見でガウスは数学の道に進むことを決意したという．実際，ガウスの有名な「数
学日記」はこの日付から始まるのである．
ガウスは自分の理論をその後，円の分割の理論として，1801年に出版された
「数論研究」（Disquisitiones Arithmeticae2））［1］の第7章で詳しく展開した．こ
の「数論研究」はその後の数学の流れを作りあげる真に革新的な本であった．こ
の後，アーベルもガロアもディリクレもこのガウスの本を徹底的に研究すること
によって自分の数学を作っていくのである．たとえば，ガロア理論（どのような方
程式が根号を使って解くことができるか，ということを含む理論）の最初のアイ
ディアは，まさにこのガウスによる円の分割の理論から抽出されたのである．19
世紀の数学の爆発的発展は，ガウスの「数論研究」に始まったと言ってよく，ガウ
スの理論は数学の大鉱脈，大金鉱だったのだと言える．
さて，数学界の巨匠ガウスと対比して，私はいつも同時代の音楽界の巨匠ベー
トーヴェン（1770-1827）のことを思う．「数論研究」の出版された1801年は有名
な「月光ソナタ」（ピアノソナタ第14番）が作曲された年で，その後ベートーヴェ
ンはいわゆる中期の作品群，充実した数多くの作品がひしめく世界に突入してい
く．ベートーヴェンの音楽は，コンサートに行って，あるいは名演奏の録音で，多
くの人達が楽しむことができる．ベートーヴェンの音楽は深刻すぎる，と言われ
たバブルの軽い時代もあったが，それでも（専門的な数学に比べれば）非常に多く
の人々がベートーヴェンの音楽をCD等で気軽に楽しめるのは間違いない．ベー
トーヴェンの音楽を完璧に演奏できる人は限られているが，それを万人が聴いて
楽しむことができる．
ひるがえって数学はどうだろうか．大学受験のようなテクニックの数学ではな
く，また通俗解説書にあるような数学の「お話」ではない（たとえて言えば，コ
マーシャルソングで名曲の一部を聴くだけでない）本格的な数学のおもしろさは，
どのくらいの人々に伝わっているだろうか．音楽を楽しむ人たちと同じくらい多く
の人たちが，数学の世界を楽しめないだろうか．高等教育がこれだけ広がってい
る現代の日本である．高度に専門化する前の近代の幕開けに生まれたガウスの数
学なら，もっと多くの人が，音楽を楽しむように楽しめるはずと考えたのが，こ
の本を書く動機である．
ガウスの「数論研究」には，さまざまなテーマが取り上げられているのだが，本
書は「円の分割」にテーマを絞って書くことにした（ガウスの数学を総花的に紹介
するといった書き方はしない）．今までの本ではほとんど取り上げられたことのな
いガウス周期と呼ばれる複素数を主役にする．これは円の分割（正多角形の作図）
に関するガウスの理論に不可欠の数である．そして，正17角形の作図のために
は，たとえばcos360／17○の値を知るために，一歩一歩進んでいくのだが，その一歩
一歩進む過程の一般論を探求していく．最初の一歩は2次の無理数の世界である．
そこでは，2次ガウス周期の基本定理（定理4.1.1）を数通りの方法で証明する．
そうすると有名な平方剰余の相互法則に自然に導かれる．平方剰余の相互法則は
ガウスの数学の中でも大変よく知られているテーマで，普通の初等整数論の本で
はこれを目標とすることも多いが，円の分割を目標とすれば，これは最初の一歩
にすぎず，次の一歩が重要である．次の一歩は4次無理数の世界である．その世
界に進むために，「数論研究」（1801）を越えて，ガウスの1828年の論文「4次剰
余の理論 第1部」［3］の内容を詳しく説明する．目標とするのは4次ガウス周期
の基本定理（定理5.7.1，定理5.7.2）である．ガウスはこの定理を論文には書いて
おらず，注意深い読者（ラテン語の原文でlectores attenti）は気づくだろう，と
書いているだけである．「注意深い読者」となって，この定理を定式化し完全に証
明しようと思う．簡単な言葉に直すと，これは三角関数の値に関する式を与える．
読者は，この本のさまざまなところに，今まで見たことのない三角関数の値の式
を見つけるだろう．4次ガウス周期の基本定理を得た後，その応用として4乗剰
余の相互法則へも進んでいく．
若き日のガウスの「数学日記」は，正17角形の作図で始まるが，最後に記され
た定理は，1814年7月9日ガウス37歳のときのもので，ある楕円曲線のFp有
理点の個数の計算である（現代の目から見て，非常に重要な定理である）．4次ガ
ウス周期について調べてきたことを使うと，この定理にも完全な証明を与えるこ
とができる（§6.3参照）．読者は，ガウス周期を通じて，正17角形の作図からこ
の有理点の個数の計算まで，ガウスのアイディアがまっすぐにつながっているこ
とを知るだろう．
このようなガウスの数学は，アーベルやガロアに大きな影響を与えただけでな
く（また高木貞治・E．アルティンの類体論への道を切り開いただけでなく），現代
数学に直接の大きな影響を与えている．20世紀の大数学者A．ヴェイユがヴェイ
ユ予想を構想したきっかけは，ガウスの上記の論文「4次剰余の理論 第1部」［3］
を読んだことであった．最後の第6章では，この本で主題としたガウスの数学と
直接つながっているヴェイユ予想に進む．また，上記のガウス日記に現れる楕円
曲線に関連して，（フェルマ予想の証明で有名になった）谷山・志村・ヴェイユ予
想について解説する．
1）大学数学を使わずに説明したために，知識のある読者にはかえってわかりにくくなってし
まっている部分もある．大学数学の知識を持った読者は，進んだ数学の言葉に直せる部分に気
づいたら，どんどんその知識を使って読んでほしい．
2）ラテン語のarithmeticaeはarithmeticaの属格で，「数論の」という意味である．した
がって，全体では「数論の研究」という意味になる．arithmeticaは英語ではarithmeticで
あるが，この言葉が現在は死語になっているという俗説が（ガウスの数論に絡んで述べられる
ことが）昔からある．しかしそんなことはなく，数学の世界で今でも普通に（初等算術の意味
ではなく）使われている．私自身も自分の論文で使ったことがある．あるいはもっと単純に，
arithmetic geometryという分野があることを聞いたことのある読者もいるだろう．ガウスに
とってのarithmeticaは整数の理論にからむもののことで，たとえば有限体の理論として，現代
では代数学に組み入れられていることも，十分にarithmeticaであった．また，現代でも代数
的整数論に分類されるような「数論研究」第7章の内容は，当然すべてarithmeticaであった．
この本の内容
もう少し詳しくこの本の内容を述べておこう．
第1章は導入であり，正多角形の作図が，1のn乗根の世界を考えることに
よって見通しよくわかるようになる，というガウスの最初の発見について説明す
る．定規とコンパスで作図可能なものがどのようなものか，ということについて
も説明する．
第2章は，第3章以降の議論に必要なものの準備であり，いわゆる初等整数論
を展開する（ただし，有限体Fpを用いた説明を最初から行う）．第3章以降で特
に必要なのは，有限体の乗法群Fp×の部分群による剰余類分割である．群論の知
識は仮定しないで説明するが，群論の初歩も付録につけておいたので，適宜参照
するとよいと思う．
第3章では，いよいよこの本の主役であるガウス周期が導入される．具体的な
素数に対して，ガウス周期がみたす方程式やその値を計算する．このことによっ
て，たとえば次のような三角関数の関係式が証明できる．
sin2π／7＋sin4π／7＋sin8π／7＝√7／2
sin2π／13＋sin6π／13＋sin18π／13＝√26−6√13／4
sin2π／41＋sin20π／41＋sin32π／41＋sin36π／41＋sin49π／41
＝1／8√164＋12√41＋（14＋2√41）√82−10√41−16√82＋10√41
最初の2つの式は第3章に，3つ目の式は第4章の§5.8にある．具体的な素
数p（上ではp＝7，13，41）に対しては，このような式は第3章の結果だけで形式
的に計算できる．こういう数式の背後にある一般論を第4章以降で追求していく．
第4章では，2次のガウス周期を詳しく調べる．その最も基本的な性質は，ガ
ウスが「数論研究」第7章§356で証明した性質だが，それを2次ガウス周期の
基本定理とこの本では呼ぶことにし，この章で3通りの証明を与える．ガウスが
「数論研究」で与えた証明はガロア理論的なものだが（§4.5で紹介する），この本
では2次曲線の点の数を数えることによって数論幾何的に証明する（アイディア
はガウスの論文［3］から取ったもので，次の章のウォーミングアップになる）．
そして，2次ガウス周期の基本定理を用いて平方剰余の相互法則を証明する．こ
こに述べる証明は，（代数的な取り扱いに若干の違いがあるものの）ほぼガウスの
第7証明3）である．2次周期の基本定理を使った平方剰余相互法則の証明は，ガ
ウス「数学日記」によれば，1796年9月2日に得られている．
平方剰余相互法則の高次剰余への一般化が，ガウスの整数論の最重要課題（のひ
とつ）であり，1820年代になると，ついに論文が発表され始める．最初の論文が，
上記の1828年の論文「4次剰余の理論 第1部」［3］であり，4次曲線のFp有理
点の数の計算から始まっている．第5章では，この計算を詳しく紹介する．この
計算がガウス周期の決定に使えることは，論文「4次剰余の理論 第1部」［3］で
はほのめかされているだけである．しかし，われわれのガウス周期の探求ではこ
れは最重要であると考え，第5章§5.7で定式化して4次ガウス周期の基本定理
と呼ぶことにし，きちんとした証明を与えた．読者は，まずこの定理を目標にし
て，この本を読むとよい．
ガウスの目標は4乗剰余の相互法則であった．ガウスはその定式化を1832年
の論文「4次剰余の理論 第2部」［4］で述べたが，証明は与えなかった．4乗剰
余相互法則の証明をこの本で与えることは，設定したレベルを越えるのではない
か，と最初危惧したが，一歩一歩進むことで，むしろ数学ができあがっていく過
程を描写できるのではないかと考え，結局§5.9，§5.10，§5.11でその証明に向かっ
ていくことにした．§5.9で述べるように，現代の普通の証明で使うような道具は
何も使わず，4次ガウス周期の基本定理だけを手に持って，4乗剰余相互法則の山
に歩いて登攀することを目指した．具体的には，「4乗剰余相互法則ではガウス整
数（整数a，bに対してa＋biの型の数）が必要である」といったような紋切り型
の説明は行わず，第4章の平方剰余相互法則の証明の類似をたどると何が言える
か，ということから出発し（§5.9），まずはどんな定式化ができるか，ということ
から追求していった．迂回はするかもしれないが，何とか4乗剰余相互法則の山
頂に近づき，§5.11の最後では，登頂を敢行する．この3つの節によって，ガウ
スが論文「4次剰余の理論 第1部」で述べた定理は相互法則全体を視野に入れて
書かれたものであり，それを本質的に使って4乗剰余相互法則の証明ができるこ
とを納得してもらえると思う．
第6章では，現代の数学への橋渡しとして，射影空間とその中の曲線（射影曲
線）について述べる．曲線の有理点の数を数えるときには，射影空間の中で数えた
ほうがよい．第4章，第5章で述べたガウスの結果が，射影空間の中ではどのよ
うになるか，ということを計算すると，ある法則が見えてくる．これが有名なヴェ
イユ予想である．また，ガウスが考えた楕円曲線を詳しく見ることにより，有理数
体上の楕円曲線に関する谷山・志村・ヴェイユ予想に進む．この部分は，すべての
用語を完全に解説できず，またすべてに証明をつけることもできないが，ガウス
の話が現代の数学につながっていることをわかってもらえればよいと思っている．
なお，本書は「ガウスの数論」を題材にするが，すべてをガウスが書いた通り
に説明する，という本ではない．ガウスとは少し違う証明を与えたり，ガウスが
書かなかった証明を説明している場面もある（たとえば上で説明したような4乗
剰余相互法則の証明など）．もちろん，重要な部分におけるガウスの考え方につい
ては十分に説明した．また，ガウスの書いたものを引用するときは，必ず原典か
ら訳出した．
3）ガウスは生前に平方剰余相互法則の異なる証明を6つ出版した．2次周期の基本定理から
平方剰余相互法則が導かれることを2次周期の基本定理の証明後ガウスはすぐに気づき（「数学
日記」の記述からそれがわかる），その証明を含む「数論研究」第8章を用意するこ
とにした．しかしながら，ページ数と予算の関係からかこの原稿が出版されることはなく，この
章はガウスの死後に遺稿として出版されたのである（［5］）．そこでは，平方剰余の相互法則に2
通りの証明が与えられているが，代数的取り扱いが異なっているだけで，本質的には同じアイ
ディアに基づいているので，これをガウスの第7証明と呼ぶことが多い．（詳しくは§4.6参照）．
この本の読み方のヒント
この本は教科書風の書き方をわざとしなかった（あるいはしないように努めた）
が，第6章の途中までは証明をすべてきちんとつけた数学の本である．
この本に限らず，数学の本の読み方に関して述べる．
数学の本は小説を読むように，たくさんのページ数を一気に読むことは普通は
できない．いろいろな性質や証明が書いてあって，それを自分で確かめたり，理
解したりしながら進まねばならないからである．こんなに時間がかかっても進ま
ない，と思わず，時間がかかっても問題はまったくない，と思ってほしい．
私は，現在勤務している大学の付属の女子高で出張講義をしたとき，「この性
質が成り立つことの説明は今日はしません」と言ったところ，生徒達から「なん
でー？それじゃ，あたしたち今日眠れなくなっちゃう」という声が飛んで来て，
あわてて証明をつけた経験がある．このように，「なぜ成立するか」という疑問に
答えるのが証明なのである．しかし，「なぜ」ということより，全体像が知りたい
ときは，証明を飛ばして読んでもよい．また，もし途中から読めるようなら，途中
から読んでもよい．複雑な証明は後にまわして，次に進むという手もある．もっ
ともこの本は数学のおもしろさを証明もこめてわかってもらいたい，と思って書
いた本なので，枝葉ではない主要な流れの証明は最終的にはきちんと読んでもら
いたいと考えている．証明の中に書いてある内容がわからないときもあるだろう．
そういうときは，例を考えたり，特別な場合を考えたり，自分でいろいろ考えるの
がよい．そういうことに費やした時間は決して無駄ではない．むしろ，そういう
時間が自分の数学能力の血肉を作るのである．数学ができるようになるには，自
分でいろいろ考えることが最も大事である．
この本の特徴のひとつは，たくさんの計算例を載せたことである（この本は普通
の整数を扱っているので，実例がたくさん計算できる）．整数に関する性質や三角
関数の値について，たくさんの数値例を与えた．筆算でも電卓でもコンピュータ
でもよい．ぜひ自分でも計算してみてもらいたい．そうすることによって，理論
がしっかりと自分のものになるだろう．
この本を書いているうちに頭に浮かんだ読者のイメージに，剣道の稽古にも懸
命だった中学生の頃の自分があった．数学以外にもいろいろなことに興味がある
さまざまな人達に読んでもらえることを願っている．
最近は集合について，高校以下であまり教えないので，きわめて基本的なこと
だが，ここで一つだけ説明しておきたい．
F（x）がxについての文章または式で，
S＝｛x｜F（x）｝
という記号は，F（x）をみたすx全体の集合を表す（集合論的にはSが集合にな
らない場合もあるが，この本では集合になるものだけを扱っている）．xがSの
元とは，Sの要素ということと同じ意味である．また，Aを集合とするとき，
S´＝｛x∈A｜F（x）｝
はAの元（要素）で，F（x）をみたすもの全体を集めたAの部分集合のことで
ある．
(略)
私はこの本を片手間には書きませんでした．研究論文を書くときと同じように，
数学する魂をこめたつもりです．数学の発見のおもしろさを伝えるためには，数
学の魂がこもっていなければならないと思ったからです．もしこの本によって数
学の持つ楽しみがほんの少しでも伝わることがあるのならば，これに優る喜びは
ありません．
2017年1月
栗原 将人